方陣算の解き方

【中学受験の算数】方陣算の解き方

唐突に😅算数の「方陣算」の解き方を説明してみます。

中学受験の算数。特殊算がいっぱいです。

すたでぃ
すたでぃ
旅人算とかニュートン算とか、変な名前のやつ。


方陣算もそのひとつ。息子がわかっていると言ったのに、れれれ?な感じになっていたので、やっぱ放置はダメだった😅ってことで、一通り私も復習して一緒に勉強。

方陣算はコツがつかめればすごく簡単に解けるので、得点源になります!

基本問題からちょっとだけ応用まで、ポイントを確認しながら解いていきましょう!方陣算では、碁石とかおはじきとか1円玉を並べたものの数を求めたりします。以下では碁石で統一して説明します。

中学受験の特殊算をぜーんぶ網羅して、すべてわかりやすく解説してくれている『塾技』は中学受験家庭一家に一冊必携です!

 

 

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方陣のタイプ

方陣のタイプは2つ。

・中実方陣
・中空方陣

中実方陣

中実方陣は、中身の詰まった(穴の開いていない)方陣です。

並んだ碁石の数を聞かれたら単純に縦×横で求められますね。

中空方陣

中空方陣は、中に穴のあいた方陣です。

碁石の数を求めるときには、ちょっと工夫が必要です。

 

問題のタイプ

方陣算の問題で聞かれることは、大まかに3つに分けられます。

・碁石の総数
・周り(もしくは1周分)の碁石の数
・方陣の一辺の碁石の数

これが、中実方陣か中空方陣かで解き方がちょっとだけやり方が変わります。

 

方陣算の解き方 まずはこれを覚えよう

四畳半切り

方陣算で重要になってくるのが、「四畳半切り」。これができたら後は簡単です。

「しじょうはんぎり」ってなんじゃ?!なんだかわからないけど、なんか強そう!(笑)

その四畳半切り(よじょうはんぎりと読んでもいいよ)、こんなやつです。

要は四畳半の部屋に畳を敷くときの畳の並べ方!

 

すたでぃ
すたでぃ
子どもは4畳半の部屋とか知らないんじゃない?


そうなんですよねー。親世代は大丈夫でしょうが、今の小学生が四畳半といって、畳の並べ方がぱっと浮かぶかは疑問ではあります😅。まあしかし、ついでに畳の並べ方も覚えてもらうとして、この図が書けるようにしておきましょう。

うちの息子は不器用なので書けないだろうなぁと思ったら案の定おかしなものを書いていましたのでね、少し出かける間に練習しておくようにいい渡しておきました。

この四畳半切りを使うのは

  • 周囲の碁石の数を求めるとき
  • 中空方陣の碁石の総数を求めるとき

です。

 

4つのパーツが全部同じ数になるように分けて最後に4をかけて求める方法です。

周囲の碁石の数なら、1列だけなので1辺あたりの碁石の数から1を引いて4倍します。

例えば上の7×7の中実方陣なら、(7-1)×4=24 24個 となります。

中空方陣の場合は、4つに分けたパーツ一つ分に含まれる碁石の数をまず求めて、それを4倍するとすべての碁石の数が求められます。

 

1周分の数は8ずつ増える

方陣の周囲の碁石の数は、四畳半切りで求められると上に書きました。この1周分の碁石の数は外に行くほど増えますよね。

一つ外側にいくごとに碁石の数は「8個ずつ」増えていきます。これを覚えておくと便利です。

 

方陣算はとにかく図を書け

方陣算は簡単そうにみえて、考えているうちにわけがわからなくなりがちです。面積のようにもとめられるのに、求めるのは碁石の数なので、あれ??みたいにね(笑)。わたしだけかな?!

ですが、図を描くだけで本当に間違いにくくなるし、あっさり解法が見えてきます。

ぜひ面倒くさがらずに図を書く!これを徹底させましょう!

 

例題を解いてみよう!

中実方陣 基本

例題1

いくつかの碁石を正方形になるように並べたところ、一辺の碁石の個数が16個になりました。一番外側の周りの碁石の数はいくつですか。

 

ポイント

  • 四畳半切り×4
  • (一辺の個数-1)×4で数量

四畳半切りすれば、4等分できますので、4等分した部分の個数(15個)×4で求められます。

つまり一辺の個数16個から1を引いて、15×4ということになります。いろんなやり方で求めることができますが、四畳半切りを覚えておくと中空方陣や正方形以外の形にも使えて汎用性が高いです。

 

すたでぃ
すたでぃ
今度は逆のことをしてみるよ!


例題2

碁石を正方形に並べたら、一番外側の碁石は48個でした。碁石は全部で何個ですか。

 

1.4畳半切りの一個分の個数を求めます。 48÷4=12

2.1辺の個数を求めます。上の図のピンクの部分が12個なので、12+1=13

3.縦の個数×横の個数で全部の碁石の図を求めます。 13×13=169

答え 169個

ちなみに平方数は覚えておくと計算が速いので、20×20くらいまで覚えておきましょう!

すたでぃ
すたでぃ
いざ(13)いざ(13)イチロー君(169)

計算スピードアップの記事にもゴロを書いてます。

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例題3

碁石で正方形を作ったら、6個あまりました。余ったので縦横1列ずつ増やそうとしたら、25個足りませんでした。碁石は全部でいくつですか。

 

ポイント

  • 余った碁石と足りなかった碁石を足せば、縦横一列増やすのに必要な碁石の数がわかる

1.縦横1列ずつ増やしたところにいくつ碁石があるか考えます。 6+25=31

2.増やす前の一辺の碁石の数を求めます。 (31-1)÷2=15

3.余っていた碁石の数を足して、碁石全部の個数を求めます。 15×15=225 225+6=231

答え 231個

 

中空方陣 基本

例題4

一番外側の一辺が15個で2列の中空方陣があります。碁石は全部で何個ですか。

 

ポイント

  • 四畳半切りの縦の個数は、一辺の個数から列数を引いたもの

1.四畳半切りにして、四等分した碁石の縦の碁石の数を求める。 15-2=13

2.四等分したものの1つ分の碁石の数を求める。 13×2=26

3.4倍する。 26×4=104

答え 104個

こちらも色んな求め方ができると思いますが、図を描いて四畳半切りをすると一発でわかります👍

 

例題5

4列の中空方陣に並べたところ、一番外側の周りには64個の碁石が並んでいました。碁石は全部で何個ですか。

ポイント

  • 外側の一辺の個数=1周分の個数÷4+1
  • 四畳半切りの縦の個数は、一辺の個数から列数を引いたもの

 

1.外側の個数を4で割って、中空方陣の1辺の個数を求める。 64÷4=16 16+1=17

2.四畳半切りしたものの縦の長さを求める。 17-4=13

3.四畳半切りの1個分の個数を求める。 13×4=52

4.4倍する。 52×4=208

答え 208個

一辺の個数を求めるための図と、中空方陣全部の個数を求める図を分けて描くとわかりやすいです。

 

応用

例題6

何列かわかっていない中空方陣があります。一番外側の碁石の数と一番内側の碁石の数の差が48です。
この中空方陣は何列の中空方陣ですか。

 

ポイント

  • 1周分の個数は1つ外側に行く毎に8個増える
  • 植木算:間隔の数+1が木の数


1.一番外側と一番内側の差48を一周ごとに増える碁石の数「8」で割る。 48÷8=6

2.6回碁石が8ずつ増えているので、並んでいる碁石の列は植木算の要領で1を足す。6+1=7

答え 7列

 

まとめ

方陣算の解き方をまとめてみました。集合体恐怖症の方は気持ち悪かったですよね💦スミマセン!

方陣算は図が命。

とりあえず図さえかければ、あとはとってもシンプル。難しい計算もなく簡単にわかってしまうので、方陣算がうーんなお子さんには、とにかく面倒くさがらずに図を描こう!と励ますといいと思います。

うちの息子も面倒くさがって図を描かないので、これさえ書けばすぐ解けるよー!と繰り返し言って聞かせております。

最後にもう一度方陣算のポイントを~。

方陣算はこれだけ!

  • 四畳半切り
  • 1周分の個数は、ひとつ外側に行くほど8増える

四畳半切りの概念を持っておくと、四角形でなくても、三角形でもその他の多角形でも解けますよ!

 

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